双曲正弦
性质 | |
奇偶性 | 奇 |
定义域 | (-∞,∞) |
到达域 | (-∞,∞) |
特定值 | |
当x=0 | 0 |
当x=+∞ | +∞ |
当x=-∞ | -∞ |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性质 | |
渐近线 | N/A |
根 | 0 |
临界点 | N/A |
拐点 | 0 |
在数学中,双曲正弦是一种双曲函数,是双曲几何中,与欧几里得几何的正弦函数相对应的函数。双曲正弦可以视为正弦函数的类似物,然而双曲正弦不具备周期性,且在定义域为实数的情况下,其值域也包括了整个实数域。一般的正弦可以表示为单位圆上特定角构成之弦长的一半,或该角与圆之交点的y座标;而双曲正弦则代表单位双曲线上特定双曲角构成之双曲弦长的一半,或该双曲角与单位双曲线之交点的y座标。双曲正弦一般以sinh表示[1],在部分较旧的文献中有时会以表示。[2]
定义
双曲正弦一般计为[3](有时会简写为[4]),其在复变分析中定义为:[5]
其中是复变指数函数。
也就是说,双曲正弦等同于指数函数与其倒数之差的一半[6]。双曲正弦也可以视为自然指数函数的奇函数部分[7]
在双曲几何中,双曲正弦函数类似于欧几里得几何中的正弦函数。[8]
性质
一般性质
- 双曲正弦在实数中是一个连续函数,在复数中是一个全纯函数,因此在整个复数域中双曲正弦处处可微,其导函数为双曲余弦函数。[9]
- 双曲正弦是一个奇函数。[10]
- 在实数域中,双曲正弦是一个严格递增函数。其中在区间上是凹函数、在区间上是凸函数。[9]
三角学性质
其与经典的欧拉公式类似。
特殊值
双曲正弦存在一些特殊值[5]:
其中为黄金比例
参见
参考文献
- ^ (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
- ^ Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch, Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte, Fachbuchverlag Leipzig. 1956 (德文)
- ^ ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. [1 July 2010]. (原始内容存档于2014-03-26).
- ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich. Table of Integrals, Series, and Products 6. Academic Press, Inc. 2000. ISBN 978-0-12-294757-5.
- ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ sinh 双曲正弦. mathworks. [2021-07-11]. (原始内容存档于2021-07-12).
- ^ Richard Hensh. Even and Odd Parts of an Exponential Function (PDF). math.msu.edu. [2021-07-11]. (原始内容存档 (PDF)于2021-07-11).
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29] (英语).
- ^ 9.0 9.1 The hyperbolic functions (PDF). mathcentre.ac.uk. [2021-07-11]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19).
- ^ Hyperbolic Functions (PDF). teaching.martahidegkuti.com. [2021-09-15]. (原始内容存档 (PDF)于2020-01-13).
- ^ Hyperbolic Functions. www.mathsisfun.com. [2020-08-29]. (原始内容存档于2022-03-03).
- ^ Osborn, G. Mnemonic for hyperbolic formulae. The Mathematical Gazette. July 1902, 2 (34): 189 [2021-09-15]. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. (原始内容存档于2021-11-01).