拉格朗日力學

拉格朗日力學（英語：Lagrangian mechanics）是分析力學中的一種，於1788年由約瑟夫·拉格朗日所創立。拉格朗日力學是對古典力學的一種的新的理論表述，著重於數學解析的方法，並運用最小作用量原理^[1]，是分析力學的重要組成部分。

古典力學最初的表述形式由牛頓建立，它著重於分析位移，速度，加速度，力等向量間的關係，又稱為向量力學。拉格朗日引入了廣義座標的概念，又運用達朗貝爾原理，求得與牛頓第二定律等價的拉格朗日方程式。不僅如此，拉格朗日方程式具有更普遍的意義，適用範圍更廣泛。還有，選取恰當的廣義座標，可以大大地簡化拉格朗日方程式的求解過程。

自由度

力學系統可以由一組座標來描述。例如，一個質點的運動（在笛卡爾座標系中）由x、y、z三個座標來描述。一般而言， $N$ 個質點組成的力學系統由 $3N$ 個座標來描述。力學系統中常常存在著各種約束，使得這 $3N$ 個座標並不都是獨立的。力學系統的獨立座標的個數稱之為自由度。對於 $N$ 個質點組成的力學系統，若存在 $m$ 個約束，則系統的自由度為

S=3N-m

。

廣義座標

在向量力學中，約束的存在體現在作用於系統的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為複雜。但若能選取適當的 $s$ 個完全滿足約束條件的獨立座標，則約束不再出現在問題中，只需要求解關於 $s$ 個未知變量的方程式，使問題得以大大簡化。而如果運用牛頓力學來解約束問題，通常約束越多，需要求解的方程式個數就越多，反而增加了一定的難度。這樣的 $s$ 個座標不再局限於各質點的位置座標，而可以是任何能描述系統的幾何參量，因此稱為「廣義座標」。

拉格朗日量

拉格朗日力學的一個基本假設是：具有 $n$ 個自由度的系統，其運動狀態完全由 $n$ 個廣義座標及廣義速度決定。或者說，力學系統的運動狀態由一個廣義座標和廣義速度的函數描述：

{\mathcal {L}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{n};\ {\dot {q_{1}}},\ {\dot {q_{2}}},\ \dots ,\ {\dot {q_{n}}},\ t)

。

這個函數稱為拉格朗日函數或拉格朗日量。

引入位能函數 $V\!$ ^[2]。這時拉格朗日函數表示為：

{\mathcal {L}}=T-V

其中 $T\!$ 和 $V\!$ 分別是這個力學體系的動能和位能。

拉格朗日方程式

拉格朗日力學中，運動方程式由 $n$ 個二階微分方程式（拉格朗日方程式）給出：

{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q_{i}}}}-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial q_{i}}=Q_{i}

；

其中 $Q_{i}$ 為 $q_{i}$ 所對應的非保守的廣義力。

拉格朗日方程式的地位等同於牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。這個方式的解是古典解，在量子體系下，古典路徑將不再是唯一路徑。

拉格朗日力學的擴展

哈密頓量 $H$ 可以通過對拉格朗日量進行勒壤得轉換得到。哈密頓量是古典力學的另一種表述哈密頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義座標可能值組成的組態空間的切線束上的函數，而哈密頓量是相對應的餘切叢上的函數。哈密頓量在量子力學中到處出現（參看哈密頓算符 (量子力學)）。

1948年，費曼發明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的機率是所有可能導向它的軌跡的機率之和。在古典力學的範圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理。

參見

參考文獻

^ Goldstein, H. Classical Mechanics 3rd. Addison-Wesley. 2001: 35.
^ 陳世民. 理论力学简明教程. 高等教育出版社. : 185–186頁. ISBN 978-7-04-023918-8.

梁昆淼：《力學》
朗道：《力學》

[1] Goldstein, H. Classical Mechanics 3rd. Addison-Wesley. 2001: 35.

[2] 陳世民. 理论力学简明教程. 高等教育出版社. : 185–186頁. ISBN 978-7-04-023918-8.

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