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在數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮大(小)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。
超現實數樹的可視化。
超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
概述
康威[3]使用遞歸構造了超現實數,其中每個數都是兩個數集構成的序對,記為
。這兩個集合要求
里的每個元素都嚴格小於每個
里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字:
。
整數及二進分數
讓我們先來看幾個簡單的例子。
![{\displaystyle \{|\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7315d4c4fb6549ee62a4d1d71f0eec34e6c608f5)
![{\displaystyle \{0|\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470425991675e31b46f6be3ddcd89290c60b7af6)
![{\displaystyle \{1|\}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f579969d18e634a143831bddcc93e1b00b6cb0a)
![{\displaystyle \{|0\}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cda2487a5b9a99767d8aae0e488159aeaaf965a)
![{\displaystyle \{|-1\}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355aa89054ccb29c672165d06dc0ffaca19aaf29)
因此整數都是超現實數。(以上幾行是定義而非等式。)
![{\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d774ca21615ae4c5198677862e327d54a8bad5a7)
![{\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a6ae4fd0068e15bdf87ad0b8a117417fc86bb3)
![{\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984b11cdbd2e2dce331a253fe9c173a5da6d57ca)
至此我們可以通過超現實數定義二進分數(分母為2的冪次的分數)。
其他實數
為了定義更多的實數,我們可以將使用無限的左右集合:
,
,事實上可以同樣地使用二進位展開的方法定義出所有實數。
無窮數
根據歸納法,我們可以構造出
,
等無窮大的數,
等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。
更多的數
我們定義
。
若
且
,那麼
,這在直觀上等價於「
是在第
天中出生的」。
那麼我們可以觀察發現:
![{\displaystyle 1,-1\in P_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02939350fc9b61cf1b0311163f8515fb7805ada)
![{\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d42ee8dce3f0782263a266ab934039697d3cf44)
![{\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b97eb5929eae453e66da59a2130fe57c2ab879)
![{\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d1fec83ed6a0fe3fc1d1d074b46be7f94882be)
,其中![{\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44a15d24c0c0c1ed3f2b5bd4bf396b136eadf1c)
![{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010e1f9f083a874e6294c20be5c9e73536002cae)
我們將超現實數集合稱作
。
序關係
給定
,我們(遞歸地)定義
若且唯若以下兩命題同時成立:
- 沒有一個
符合
,
- 沒有一個
符合
。
那麼可以自然地定義
。可以證明,這樣的二元關係是一個全序關係。
我們分別將
稱為
負、
正、
非正、
非負。
我們定義
表示
與
同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在,但是這個關係會在之後的博弈章節出現。
運算
加法
我們定義超現實數之間的加法為
,其中
。
加法逆元
我們定義負號(加法逆元)為
,其中
。
可以驗證這兩個運算構成了(真類上的)阿貝爾群。
乘法
我們定義乘法運算為
,其中
。
乘法逆元
我們定義(正數的)乘法逆元為
,這樣除法就是
。我們可以發現這個定義是遞歸的,但是實際上這個數字是良定義的:我們取
那麼
會有一個
作為左項,導致了
會是一個右項。這又意味著
作為左項、
作為右項,以此類推,所以我們有
(考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到
,因此是相容的)。
對於負數,我們定義
。
子集對應
有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。
有理數
所有二進分數都可以定義為超現實數,而所有分數都可以表示為兩個整數之比,因此所有有理數都可以表示為超現實數。
實數
在定義出了有理數之後,使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。
假設
,其中
,那麼立刻可知存在
是
的一個超現實數表示,其中
是有理數到超現實數的域同態。
序數
我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合[4]。所有序數的全體記為
,那麼我們有:
![{\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d5c3bd0d75147295d77e6ee1645fe6b6218f39)
這樣的同態可以保持序關係的結構,但是並不能保證算術的一一對應,比如
這一式子的值在序數中的結果是
,而在超現實數中則是
.
博弈
如果去除超現實數定義中對所有
的約定,那麼這樣(遞歸)定義出來的真類被稱做遊戲[5]。對其仍然可以(一模一樣的)定義加法、加法逆元以及比較。
顯然,所有的超現實數都是遊戲,但並非所有遊戲都是超現實數,例如
就不是,其滿足
。
可以發現,所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲,其中左集合表示第一位玩家(下稱左玩家)可以走到的局面,右集合則表示第二位玩家(下稱右玩家)的選擇,不能操作者負。
兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲,而每個玩家選擇其中一個進行操作,不能操作者負。
我們可以發現,這個遊戲的勝負取決於
和
的相對關係。
- 若
,則後手必勝。
- 若
,則左玩家必勝。
- 若
,則右玩家必勝。
- 若
,則先手必勝(英語:fuzzy game)。
有以下這些特殊的遊戲[6]:
![{\displaystyle \star =\{0|0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568da4d3712432619ac373af55e26bd49237bd04)
![{\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32322663cfec6201d64a1d3273f98d6ffcd7a0)
![{\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af087eea4931d155220c06408d4cc39e950cc54f)
可以發現,關於他們有這麼幾個性質:
![{\displaystyle \star \|0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72319cf91e5d25e3eb48bac2043f80679649c5cc)
![{\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96145b3074414510952d4b139538dcb44f87790)
(比所有超現實數更接近0)
![{\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0959737622b179fcc208dd4b9a14cbe8170efa98)
![{\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba70285259f12ab76cb7914b16cd29a272e054bf)
可以用於分析複雜的遊戲。
暫譯術語
- 超現實數(Surreal)
- 無窮量(Infinitesimal)
- 格羅滕迪克宇集
注釋
來源
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- 自然數 (
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- 整數 (
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- 有理數 (
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- 規矩數
- 代數數 (
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- 周期
- 可計算數
- 可定義數
- 高斯整數 (
)
- 艾森斯坦整數
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| 合成代數 |
- 可除代數:實數 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元數 (
)
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| 凱萊-迪克森結構 |
- 實數 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元數 (
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- 十六元數 (
)
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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