HP滤波

HP滤波（英語：Hodrick–Prescott filter或Hodrick–Prescott decomposition）是宏观经济学中用到的时间序列分析方法，尤其在实际经济周期理论中较为常用。HP滤波可以从原始数据中分离出周期性的部分，并得到一条平滑的曲线来表述整个时间序列，即把对短期波动更敏感的数据转成了对长期波动更敏感的表示方式，改变乘数$\lambda$可以调整其敏感程度。20世纪90年代，两位经济学家罗伯特·霍德里克和诺贝尔奖得主爱德华·普雷斯科特发表了这种方法并受到学界欢迎。不过实际上早在1923年惠特克就首次发表了该方法。

数学表述

这个方法的思想类似于时间序列分解。令$\{y_{t}\},\ t=1,2,...,T\,$表示一组时间序列变量的对数，则$\{y_{t}\}$由一系列趋势项$\tau _{t}$、周期项$c_{t}$和误差项$\epsilon _{t}$组成，即$y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\ +\epsilon _{t}$。给定合适的正数$\lambda$，存在一个趋势项满足

$\min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right)$。

上式第一项表示变量偏离趋势项的误差$d_{t}=y_{t}-\tau _{t}$的平方和，从而控制了周期项的大小；第二项用乘子$\lambda$乘上趋势项二阶差分的平方和，从而控制了趋势项变化的剧烈程度。$\lambda$越大，后者的控制就越强。霍德里克和普雷斯科特建议季度数据$\lambda$取为1600，若单位不是季度则$\lambda$正比于每单位所含季度数的平方，即年度数据取100、月度数据取14,400。雷文（Ravn）和乌利希（Uhlig）则在2002年发表的文章中提出$\lambda$应该正比于数据每单位所含季度数的四次方，即年度数据$\lambda$应取6.25、月度数据取129,600。

麦克尔罗伊的一篇论文中给出了双侧HP滤波谱分解的精确数学表达式。

评价

HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计：

• 时间序列是二阶整合的，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。
  • 如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。
• 样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。

标准的双侧HP滤波不应该用来估计基于递归状态空间表达的DSGE模型，这是因为HP滤波使用未来的观测$t+i,i>0$去构造当前时间点$t$的结果，但递归状态空间要求当前的观测仅基于当前和过去的状态。要解决这个问题，可以使用单侧HP滤波。

参见

• 带通滤波器
• 卡尔曼滤波

拓展阅读

• Enders, Walter. Trends and Univariate Decompositions. Applied Econometric Time Series Third. New York: Wiley. 2010: 247–7. ISBN 978-0470-50539-7. 
• Favero, Carlo A. Applied Macroeconometrics. New York: Oxford University Press. 2001: 54–5 [2019-07-06]. ISBN 0-19-829685-1. （原始内容存档于2020-09-22）. 
• Mills, Terence C. Filtering Economic Time Series. Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. New York: Palgrave McMillan. 2003: 75–102. ISBN 1-4039-0209-7. 

外部链接

• 普雷斯科特给出的Fortran代码（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 单侧HP滤波的Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R语言实现的HP滤波，包名mFilter（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 在线进行HP滤波（页面存档备份，存于互联网档案馆）