割圆连比例是清代级数理论的几何学基础,最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明,其后经董祐诚、项名达等数学家的工作而趋于完善。[1]。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度,如何求弦长及矢高,或已知弦长、矢高,如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法,结合传统中算方法,将圆弧分割成多等分,画出多条矢,然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式,再将圆弧分割越细,以折线逼近弧线,求得弧长[2]。
历史背景
1701年,法国耶稣会传教士杜德美(Pierre Jartoux 1668年至1720年)来到中国,他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数[3]
![{\displaystyle \pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927d1b2a58834936e8f681b76350291214a27ce0)
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a9027c77b90e40215c01281b39d37730e7e537)
![{\displaystyle \operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976d03bd8a7c779169c0a04e17a31556a4971680)
这些计算π的“捷法”只涉及乘法和加减运算,速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算,因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密,于是他着手进行这项工作,前后历时30年,完成了书稿《割圜密率捷法》,他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数,不仅推出杜德美的三个无穷级数,还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中,他发现和应用卡塔兰数。
连比例
连比例图
如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形,于是[4]。
AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;
- AB为第一率,以
表示
- BC为第二率,以
表示
- BC为第二率,以
表示
- CD为第三率,以
表示
- DE为第四率,以
表示
- EF为第五率,以
表示
- FG为第六率,以
表示
- ……
- 第m率:
![{\displaystyle \phi _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891eed289915668eb9484afd45036d104ea696e3)
于是:
![{\displaystyle \phi _{6}=k*\phi _{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7fea9e44b4ebd3ce379d0ee9460d37b21f814a)
![{\displaystyle \phi _{5}=k*\phi _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7bbe599e2e5c6843ae0f8d243f1a33e08e91f5)
![{\displaystyle \phi _{4}=k*\phi _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7182430571ce49ef787ab2c4ce5922c5ce06ca1c)
![{\displaystyle \phi _{3}=k*\phi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089049e0b56026c534870631132038706c308f5f)
![{\displaystyle \phi _{2}=k*\phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34058c6fb0d798b9098107818c17bffe9a3bc3c8)
![{\displaystyle \phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e8616a547a6eaad74f88c85da644d6aef2ebf)
……
……
又:
明安图割圆连比例
图一 明安图一弦二矢割圆连比例图
图二 明安图发现卡塔兰数 《割圜密率捷法》卷三
由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法
如图BCD为全弧,AB=AC=AD=为半径,令半径=1;BD为通弦,BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此,
[5]
作EJ=EF,FK=FJ;延长BE直线至L,并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M,并BF=MF;连LM,显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G,L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI;显然BI=BC。
作CG之平分线BM,并令BM=BC;连GM、CM;作CO=CM交BM于O;作MP=MO;作NQ=NR,R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;
∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形:ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:[6]
- 连比第一率:AB=AC=AD=AE
- 连比第二率:BE=BC=BF=C
- 连比第三率:EF=CM
- 连比第四率:FJ
- 连比第五率:JK=OP
1:BE=BE:EF;即
于是
,
即
因为 风筝形ABEC 与BLIN相似,[6]。
即 ![{\displaystyle AB:BL=BL:(CI+JK)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143427399ab447d43998a3fc5ac16981ab571ba6)
- 令
![{\displaystyle BL=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741b4ed98127b56f9121b56c7a42a4fd8be924e4)
![{\displaystyle AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629f2e1d7b4046e22b2c5238724674ae854f74db)
![{\displaystyle JK=p^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66feadcc71a20439a9448eee74f1b37578632ec)
![{\displaystyle CI=y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c4a922f392283c3e78cb6eee544f08cc51ffc0)
![{\displaystyle CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415670a7b373adf1ee9ebbd55caa9be40e21873b)
由此得
或
- 又
,代人p值得:
,于是
![{\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1a4aa88afb6e97e865870de339a689be42fcfe)
- 上式平方之,两边除以16:[7]
![{\displaystyle {\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be1d18c69df84accbf8ca5dc85ee71af8cb2d2)
- 即
![{\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb25d781fd29d91ae24e711719cbb5fbcb2be096)
依次类推
[8]。
将下列二式相加,可以消去
项:
![{\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1a4aa88afb6e97e865870de339a689be42fcfe)
![{\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d350f371205ab81f6f5054f842219d67cdb8e035)
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c284ce29073ac90aa8320b40e7ea4f993bd97d)
- 同理
,
.......
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4ac3a942e20bca4eb579d6b52d32e355aa6840)
展开式各项分子的系数 1,1,2,5,14,42,132……(见图二 明安图原图最后一行,由右至左读)乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人[9]。
因而得到:
[10][11]。
其中
为明安图-卡塔兰数。
- 明安图利用他首创的递推关系[12]:
![{\displaystyle C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441922245a9dafe17133271d512f6b3e6d068bfe)
![{\displaystyle \therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592d064541b854fe058b4efe7ebdb2555559ed2)
代人
- 最后得到[13]。
![{\displaystyle y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f1b4eab364224815f1ff395d02c54096e6c70)
三角学意义
在图一中令BAE角=α,BAC角=2α
- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)
明安图获得的
- 就是
![{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325a3a206819130434911f491bbff2e8ed48086c)
![{\displaystyle =2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98644a83ff128a30cf9469a762555475eb28cd6a)
- 即
![{\displaystyle \sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52348d698106c3b00986f6cfb43a354bb3d36b00)
由三分弧通弦率求全弧通弦率
明安图割圆密率三分弧
如图,BE为全弧通弦,BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC;作BG、EH=BC,Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ;又三角形Cαβ与三角形BδD相似。
因此:
,
依次类推,最后得:
[14][15]。
四分弦
四分弦
+……
。[16]。
- 几何意义:
[17]。
五分弦
五分弦
- 几何意义:
[18]。
十分弦
十分弦图
从十分弦开始,明安图不再作几何模型,而是对无穷级数进行代数运算
显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合,即
;
展开即得:
+……[19]。
百分弧
同理,
,展开后即得:
……[20]。
千分弧
……[20]。
万分弦
…………[21]。
弧背求通弦
y100,y1000 and y10000 可表为[22]:
..........
..............
..................
分弦数越大,分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近
24 、 24*80 ;当分弦数n趋向无穷大, n*a, 就变成 弧背,于是[23]
令c 为弦,a 为弧背,
.....
通弦求弧背
明安图求得上述无穷级数的反逆,将弧表示为弦的无穷级数[23][24]:
............
正弦的无穷级数展开
,
令 r=1
…………
[25]。
参考文献
- ^ 吴文俊 477页
- ^ 徐传胜 143
- ^ 何绍庚,《清代无穷级数研究中的一个关键问题》《自然科学史研究》第6卷第3期1989年第 205-214
- ^ 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第297-299页
- ^ 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第300页
- ^ 6.0 6.1 罗见今 96页
- ^ 罗见今 100页
- ^ 罗见今 106页
- ^ 罗见今 《明安图和他的幂级数展开式》数学传播34卷1期, pp. 65-73
- ^ 罗见今 113页
- ^ Yan Xue-min Luo Jian-jin, Catalan Numbers, A Geometric Model J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2, Jun 2006, p22
- ^ 罗见今 114页
- ^ 罗见今 114页
- ^ Yoshio Mikami p147
- ^ 罗见今 148页
- ^ 罗见今 153页
- ^ 罗见今 153页
- ^ 罗见今 156页
- ^ 罗见今 164页
- ^ 20.0 20.1 李俨 320页
- ^ Yoshio Mikami, p147
- ^ 罗见今 209-225页
- ^ 23.0 23.1 Yoshio Mikami, p148
- ^ 罗见今 226-260
- ^ 李俨 327页
- 明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
- Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
- 李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷