数学形态学(Mathematical morphology) 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科,是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括:腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。
二值形态学
在二值形态学中,一个图案被看做是
维欧几里得空间
或网格
的子集。
结构元素
在二值结构学中,结构元素为一个二值影像,作为分析影像时使用的“探针”,代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。[1]
以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B):
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形,或写作
。
基础运算子
二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀,以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。
膨胀
膨胀(Dilation)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件?”一个影像A经过结构元素B膨胀后的结果可写为:[1]
.
其中
,代表结构元素平移x后的点集合,b是图像B的元素的坐标。
另外也可写为:
.
同上,其中
是指二值影像A经过平移-b后新的点集合。
腐蚀
腐蚀(Erosion)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件?”一个影像A经过结构元素B腐蚀后的结果可写为:[1]
.
开运算、闭运算
开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合:
开运算为先腐蚀再膨胀,
.
闭运算为先膨胀再腐蚀
.
基础运算子的性质
- 所有的运算子具有平移对称性
- 所有的运算子都是递增的,例:如果
,则
且 ![{\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e9a4cac1c78f1e29480a74bb7e1971303dda4c)
- 膨胀具有交换律,例:
![{\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6b6d1784040832bdebe5739357e606d74eb176)
- 膨胀具有结合律,例:
;另外腐蚀则为 ![{\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d297a39cd879538fa6d67a78b9c12fb233ebe46)
- 如果B包含原点(0,0),则有
![{\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94832bb44b81f5dd8e704034e17ef1020e420702)
- 膨胀与腐蚀间的关系为:
,上标
代表补集,上标
代表对原点的点对称集合。
- 开运算与闭运算间的关系为:
![{\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138f8da417ae5f0e71eab97c68bb519e42df6dcb)
- 膨胀对联集有分配律,例:
;腐蚀对交集有分配律,例:![{\displaystyle A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d92a6397d47dbd994dd53186fcbef07500b231a)
- 膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算:
若且为若 ![{\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450abcb39b8445281b93bd9cd443797719ae5c0d)
- 开运算与闭运算是幂等的:
![{\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945f8a8000bd8f158e901320b2f0c5ef594092ca)
历史
数学形态学诞生于1964年,由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣(G. Matheron)和赛拉(J. Serra)两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立,巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。
20世纪数学形态学的发展过程可大致分为:
- 60年代的孕育和形成期
- 70年代的充实和发展期
- 80年代的成熟和对外开放期
- 90年代至今的扩展期
参考资料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)
外部链接