數學形態學(Mathematical morphology) 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科,是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括:腐蝕和膨脹、開運算和閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換等。
二值形態學
在二值形態學中,一個圖案被看做是
維歐幾里得空間
或網格
的子集。
結構元素
在二值結構學中,結構元素為一個二值影像,作為分析影像時使用的「探針」,代表當處理影像上的某點時、要取出周圍的哪些點進行運算。[1]
以下是幾個常用的結構元素(將原圖寫作A、結構元素寫作B):
- 待處理影像為二維類比影像
,使用的結構元素B為一以原點為圓心、半徑為r的圓盤。
- 待處理影像為二維類比影像
,使用的結構元素B為一以原點為中心的3x3方形。
- 待處理影像為二維類比影像
,使用的結構元素B為一以原點為中心的十字形,或寫作
。
基礎運算子
二值形態學的基礎運算子為具平移對稱性的、與閔可夫斯基和直接相關的運算子。基礎運算子包含膨脹、腐蝕,以及由前兩者組合而成的開運算、閉運算。
膨脹
膨脹(Dilation)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否有探測到物件?」一個影像A經過結構元素B膨脹後的結果可寫為:[1]
.
其中
,代表結構元素平移x後的點集合,b是圖像B的元素的坐標。
另外也可寫為:
.
同上,其中
是指二值影像A經過平移-b後新的點集合。
腐蝕
腐蝕(Erosion)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否全都有探測到物件?」一個影像A經過結構元素B腐蝕後的結果可寫為:[1]
.
開運算、閉運算
開運算(Opening)與閉運算(Closing)是使用相同結構函數的腐蝕與膨脹的組合:
開運算為先腐蝕再膨脹,
.
閉運算為先膨脹再腐蝕
.
基礎運算子的性質
- 所有的運算子具有平移對稱性
- 所有的運算子都是遞增的,例:如果
,則
且 ![{\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e9a4cac1c78f1e29480a74bb7e1971303dda4c)
- 膨脹具有交換律,例:
![{\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6b6d1784040832bdebe5739357e606d74eb176)
- 膨脹具有結合律,例:
;另外腐蝕則為 ![{\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d297a39cd879538fa6d67a78b9c12fb233ebe46)
- 如果B包含原點(0,0),則有
![{\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94832bb44b81f5dd8e704034e17ef1020e420702)
- 膨脹與腐蝕間的關係為:
,上標
代表補集,上標
代表對原點的點對稱集合。
- 開運算與閉運算間的關係為:
![{\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138f8da417ae5f0e71eab97c68bb519e42df6dcb)
- 膨脹對聯集有分配律,例:
;腐蝕對交集有分配律,例:![{\displaystyle A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d92a6397d47dbd994dd53186fcbef07500b231a)
- 膨脹與腐蝕為彼此的廣義逆運算:
若且為若 ![{\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450abcb39b8445281b93bd9cd443797719ae5c0d)
- 開運算與閉運算是冪等的:
![{\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945f8a8000bd8f158e901320b2f0c5ef594092ca)
歷史
數學形態學誕生於1964年,由當時國立巴黎高等礦業學校的馬瑟榮(G. Matheron)和賽拉(J. Serra)兩人共同奠定了其理論基礎。1968年4月法國楓丹白露數學形態學研究中心成立,巴黎礦業學院為中心提供了研究基地。
20世紀數學形態學的發展過程可大致分為:
- 60年代的孕育和形成期
- 70年代的充實和發展期
- 80年代的成熟和對外開放期
- 90年代至今的擴展期
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)
外部連結