拉克斯-米尔格拉姆定理是数学泛函分析的定理,以彼得·拉克斯和阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理论基础。
叙述
设
是实希尔伯特空间,其内积记作
,导出范数
,
是双线性型,使得
- 在
上连续:
,
- 在
上强制(有称为
-椭圆性):
,
是
上的连续线性型。
那么存在唯一的
,使得对所有
都有
:
。
而且如果
是对称的,那么
是
中唯一的元素,使得以下泛函取最小值
,
对所有
,即:
。
证明
一般情形
套用里斯表示定理到连续线性型上,可知存在唯一的
,使得
对任意
成立。
对所有
,映射
是
上连续线性型,因此同样可知存在唯一的
,使得
对任意
成立。易知算子
是一个
上连续线性自同态。由此可把
表示成如下等价形式:
![{\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870504032e8bace4ffbdcc67e9f54db275e39c6a)
要证明此命题,只要证得
是从
到
的双射。首先证明它是单射,再证它是满射。
从
的强制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到对任何
![{\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d331981283674e4da50cd3aa7041428193b3db)
从而知对任何
(*)。
这证明了
是单射。
要证明满射,考虑算子
在
内的像
。
不等式(*)表示,如
是柯西序列,那么
是
内的柯西序列。由
的完备性,
收敛至
。因
连续,得出
收敛至
。
因此为
中的闭子空间,由投影定理可知
。
再设元素
,从定义有
,因此
![{\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba51f6d76e2d8ac8037520fe39b82d647ba5acd)
故得
。所以
为
,证得
是满射。
自同态
是双射,故在
内存在唯一的
使得
,且可以由
得出。
附注
不用求出
,有其范数的上界估计
![{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256868cea638aed2cf5d30685a88209071f5b44)
其中
表示对偶空间
的范数。
对称情形
如果双线性型
对称,那么对所有
有:
![{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655a89203ad0e24b729855123dd7f9458a7872d9)
因
是命题(1)的唯一解,有
![{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9723202b597d9bc3bb79f823911a391a203b80)
从
的强制性有:
![{\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb073d43c95d731e42e633dfac5dd26a58b1b356)
取
,从上式有
对任意
成立,因而得到
的结果。
应用
这定理是有限元法的基础。实际上,若不在
内求
,而是在
的有限
维子空间
内求
,那么
- 如果
对称,以
为内积,
是
的投影。
- 给出
的基
,上述问题化为求解线性方程组:
![{\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb3530479b336a970270b442ee7525eb7bd39d7)
其中
,
。