拉克斯-米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理,以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理論基礎。
敘述
設
是實希爾伯特空間,其內積記作
,導出範數
,
是雙線性型,使得
- 在
上連續:
,
- 在
上強制(有稱為
-橢圓性):
,
是
上的連續線性型。
那麼存在唯一的
,使得對所有
都有
:
。
而且如果
是對稱的,那麼
是
中唯一的元素,使得以下泛函取最小值
,
對所有
,即:
。
證明
一般情形
套用里斯表示定理到連續線性型上,可知存在唯一的
,使得
對任意
成立。
對所有
,映射
是
上連續線性型,因此同樣可知存在唯一的
,使得
對任意
成立。易知算子
是一個
上連續線性自同態。由此可把
表示成如下等價形式:
![{\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870504032e8bace4ffbdcc67e9f54db275e39c6a)
要證明此命題,只要證得
是從
到
的雙射。首先證明它是單射,再證它是滿射。
從
的強制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到對任何
![{\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d331981283674e4da50cd3aa7041428193b3db)
從而知對任何
(*)。
這證明了
是單射。
要證明滿射,考慮算子
在
內的像
。
不等式(*)表示,如
是柯西序列,那麼
是
內的柯西序列。由
的完備性,
收斂至
。因
連續,得出
收斂至
。
因此為
中的閉子空間,由投影定理可知
。
再設元素
,從定義有
,因此
![{\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba51f6d76e2d8ac8037520fe39b82d647ba5acd)
故得
。所以
為
,證得
是滿射。
自同態
是雙射,故在
內存在唯一的
使得
,且可以由
得出。
附註
不用求出
,有其範數的上界估計
![{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256868cea638aed2cf5d30685a88209071f5b44)
其中
表示對偶空間
的範數。
對稱情形
如果雙線性型
對稱,那麼對所有
有:
![{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655a89203ad0e24b729855123dd7f9458a7872d9)
因
是命題(1)的唯一解,有
![{\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9723202b597d9bc3bb79f823911a391a203b80)
從
的強制性有:
![{\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb073d43c95d731e42e633dfac5dd26a58b1b356)
取
,從上式有
對任意
成立,因而得到
的結果。
應用
這定理是有限元法的基礎。實際上,若不在
內求
,而是在
的有限
維子空間
內求
,那麼
- 如果
對稱,以
為內積,
是
的投影。
- 給出
的基
,上述問題化為求解線性方程組:
![{\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb3530479b336a970270b442ee7525eb7bd39d7)
其中
,
。