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么正算符

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泛函分析中,么正算符(英語:unitary operator,或稱酉算符)是定義在希爾伯特空間上的有界線性算符U : H → H,滿足如下規律:

其中 UU厄米轉置, 而 I : H → H恆等算符。 么正算符具有如下性質:

  1. U 保持了希爾伯特空間上內積〈 , 〉的不變性, 即對於希爾伯特空間上的任意向量 xy ,都有:
  2. U滿射的。

這兩個條件還可以用兩個較弱的但是等價的定義表示出來:

  1. U 保證了內積的不變
  2. U 是一個稠集.

U保持內積不變可以推出U是個有界線性算符;而U是稠集保證了U的逆U−1的存在。而U−1 = U是很明顯的。

所以,么正算符是希爾伯特空間自同構,即么正算符保持空間結構的不變,比如說空間的線性疊加性和內積以及拓撲性質的不變。在群論中,一個給定希爾伯特空間H上的所有么正算符組成了該空間的希爾伯特群,表示為Hilb(H)。

較弱的條件UU = I說明算符U是等距算符。另一個條件U U = I說明算符是伴同等距算符[1]

單位元 是單位算符的一般化形式。在單位元*-代數中, 其中的單元U 被叫做 單位元, 當滿足如下條件:

其中 I 是單位算符。[2]

範例

  • 在一個R2上旋轉是一個最簡單但又很重要的么正算符。旋轉並不改變一個向量的長度或者兩個向量的夾角。這個算符還可以推廣到R3中。
  • 在一個複數向量空間C里,乘以一個絕對值是1的數,也就是,一個數形式為 ei θ ,其中θR,就是一個么正算符。θ表示一個相位,相乘就是指乘以一個相位。注意到,θ的值是以2π 為模,但並不影響我們相乘的結果,所以這些在C空間內獨立的么正算符是有周期性的。作為一個集合,這個周期對應的群,我們稱作U(1)。
  • 一般地說,酉矩陣是在有限維的希爾伯特空間下的么正算符,所以,么正算符的概念包括了酉矩陣的概念。正交矩陣就是酉矩陣的一個特例,當酉矩陣中元素都為實數。他們是在Rn上的么正算符。

線性疊加性

么正算符的疊加性並不是第一的性質,也就是說並不是強加上去的性質,而是可以從內積的線性疊加性和恆正行推導出來的性質:

可以得到近似後

.

單位譜性

任意么正算符U的譜在一個單位圓上。換言之,對么正算符譜上的任意複數λ都有|λ| = 1

參見

腳註

  1. ^ Halmos 1982,Sect. 127, page 69
  2. ^ Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. 1986. ISBN 0824775694. 

參考文獻