割圓八線
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/%E5%89%B2%E5%9C%93%E5%85%AB%E7%B6%AB.svg/220px-%E5%89%B2%E5%9C%93%E5%85%AB%E7%B6%AB.svg.png)
割圓八線是割圓術之一,與三角學和三角函數相關,主要用於測量。八線指割圓有八個線段,分別為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、餘矢。[1]
大明崇禎曆書,有割圓八線表,其列舉了各線的數值,相當於一張三角函數表。而大清梅文鼎,亦有著作《平三角舉要》,其主要講述三角學,其中也有使用到割圓八線的概念。[2][3]
割圓八線與曆法有關。其之所以跟曆法有關是因為圭表求日影,以定季節。天文計算也會用到割圓八線。
說明
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Kyujutsu14.jpg/220px-Kyujutsu14.jpg)
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Saturday_Evening_Post_1907-06-01.jpg/220px-Saturday_Evening_Post_1907-06-01.jpg)
為了方便說明割圓八線,一圓以一條過圓心的水平線和一條過圓心的鉛直將圓評分成四份,每份有一個直角,圓邊就是弧。
以分割出的四份中,左上角的那一份為例,即丁丙庚的部份。圓心直角在丁。從圓心射出一條斜的射線,交圓周於乙,並從乙向外持續延伸。如此一來,直角就被分成了兩份,靠近x軸的那一份稱為正角,另一份稱為餘角。[3]而正角一側的圓周上的弧稱為正弧,即弧線乙丙;餘角一側的圓周上的弧稱為餘弧,即弧線乙庚。[4]
割圓的圖像結構與射箭類似,弓有弧、弦和矢。弦為扣在弧上下的直線,而矢就是箭,是橫放,以備射向目標。射箭時張弓,扣矢拉弦,弦矢的端點就有兩個角,弦線化為斜線。
算經借為割圓之用。直線劃過圓稱為弦,有如弓的弦狀。弓弦未拉時是鉛垂線,即線段甲乙。弓弦拉斜線到圓心,就是線段乙丁,為圓的半徑。而丙丁橫線,就矢的方向。割圓叫與圓周相切的線,稱為切線。丙戊和庚辛都是切線。
正角方向的弦,叫正弦,即線段甲乙。線段甲乙和線段丙丁,相交成直角。相切到到圓周切點為丙的切線,和斜線相交在戊,丙戊這條鉛垂線稱為正切。斜線丁戊則線稱正割。線段甲丙,有如未張弓的矢,稱為正矢。
這樣就得出正弦、正切、正割、正矢。
類似地,可以用如上的概念在餘角上做一遍得到餘弦、餘切、餘割、餘矢,過程等同於橫直倒轉。
割圓八線在零度與直角之間的線長由下表給出:
線名 | 線 | 正角為零度
餘角為直角 |
正角為直角
餘角為零度 |
---|---|---|---|
正弦 | 甲乙 | 零 | 半徑 |
正切 | 丙戊 | 零 | 同正割,無窮大 |
正割 | 丁戊 | 半徑 | 同正切,無窮大 |
正矢 | 甲丙 | 零 | 半徑 |
餘弦 | 乙己 | 半徑 | 零 |
餘切 | 庚辛 | 同餘割,無窮大 | 零 |
餘割 | 丁辛 | 同餘切,無窮大 | 半徑 |
餘矢 | 己庚 | 半徑 | 零 |
參見
參考文獻
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