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文氏圖

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文氏圖(英語:Venn diagram),或譯溫氏圖Venn圖[1]范恩圖[2]維恩圖維恩圖解范氏圖韋恩圖卞氏圖表[3]等,是在集合論(或者類的理論)數學分支中,在不太嚴格的意義下用以表示集合(或)的一種圖解。它們用於展示在不同的事物群組(集合)之間的數學邏輯聯繫,尤其適合用來表示集合(或)類之間的「大致關係」,它也常常被用來幫助推導(或理解推導過程)關於集合運算(或類運算)的一些規律。

起源

劍橋大學岡維爾與凱斯學院餐廳的彩色玻璃窗

約翰·維恩是19世紀英國哲學家數學家,他在1881年發明了文氏圖。

例子

集合A, B和C

在文氏圖法中,如果有論域,則以一個矩形框(的內部區域)表示論域;各個集合(或類)就以橢圓(的內部區域)來表示。兩個圓/橢圓相交,其相交部分表示兩個集合(或類)的公共元素,兩個圓/橢圓不相交(相離或相切,而實際上在文氏圖中相切是沒有什麼意義的,因為文氏圖是以圖形的內部區域來表示的)則說明這兩個集合(或類)沒有公共元素。

集合A和B

比如黃色的圓圈(集合A)可以表示兩足的所有活物。藍色的圓圈(集合B)可以表示會飛的所有活物。黃色和藍色的圓圈交疊的區域(叫做交集)包含會飛兩足的所有活物──比如鸚鵡。(把每個單獨的活物類型想像為在這個圖中的某個)。

人和企鵝會在橙色圓圈中不與藍色圓圈交疊的部分中。蚊子有六足並且會飛,所以蚊子的點可以在藍色圓圈中不與橙色圓圈交疊的部分中。不是兩足並且不會飛的東西(比如鯨和響尾蛇)可以表示為在這兩個圓圈之外的點。在技術上,上面的文氏圖可以解釋為"集合A和集合B之間的聯繫,它們可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。

集合AB的組合區域叫做集合AB併集。在這個個例中併集包含要麼兩足、要麼會飛、要麼兩足並且會飛的所有東西。圓圈交疊暗示著兩個集合的交集非空──就是說在事實上活物同時在黃色和藍色圓圈中。

文氏圖與其它的圖示法一樣,它不能準確表示一個集合(或類)中到底有哪些元素。

類似的圖

歐拉圖可能在外觀上同文氏圖是一致的。它們之間的區別只在於它們的應用領域中,就是說在被分割的全集的類型中。歐拉圖展示對象的特定集合,文氏圖的概念更一般的適用於可能的聯繫。文氏圖和歐拉圖沒有合併的原因可能是,歐拉的版本是早在100多年前就出現了的,歐拉已經有了足夠多的成就了,而維恩只留下了這麼一個圖。

在歐拉圖和文氏圖之間的區別只是在想法上,歐拉圖要展示特定集合之間的聯繫,而文氏圖要包含所有可能的組合。下面是歐拉圖的一個例子:

集合A, B和C

在這個例子中,一個集合完全在另一個集合內部。我們說集合A是在世界中能找到的所有的不同類型的奶酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。從這個圖中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。進一步的說,集合C(比如說金屬造物)與集合B沒有公共元素(集合的成員),從此我們可以在邏輯上斷言沒有奶酪是金屬造物(或者反過來說)。在形式上,上述的圖可以在數學上解釋為"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B沒有公共元素"。

或解釋為一個三段論

  • 所有As是Ks
  • 沒有Cs是Ks
  • 所以,沒有Cs是As
  • 所以,沒有As是Cs

擴展到更多個集合

維恩的四集合文氏圖
維恩的五集合文氏圖
維恩的使用橢圓的四集合文氏圖

歷來有許多把文氏圖推廣到多個集合的嘗試。維恩使用橢圓達到了四個集合但從未滿意他的五集合解法。在一個世紀之後,才找到了一種能滿足維恩關於對稱性的非正式要求。這是A·W·F·愛德華茲在設計彩色玻璃窗以緬懷維恩的時候,所得出的『齒輪』方法:[4]

Edwards的三集合文氏圖
Edwards的四集合文氏圖
Edwards的五集合文氏圖
Edwards的六集合文氏圖

在大眾文化中

美國電視劇生活大爆炸(The Big Bang Theory)S1E14中,Leonard不小心買下了巨型時光機,他納悶道:誰會用800元就賣出一台全尺寸的時間機器? Sheldon回答:在文氏圖中,那是位於「不再想要時間機器」和「需要800元」兩個集合的交接區域。 還有生活大爆炸S9E23中,Sheldon和Penny正在玩字卡遊戲來拓展對方的知識圈,其中Sheldon拿出文氏圖的卡片讓Penny說是什麼,Penny答對並說道:我會記得是因為我當時心想,他何時才會停止解釋這個圖?

參見

參考文獻

  1. ^ 人民教育出版社課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中课程标准实验教科书 数学1 必修. 北京: 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 9787107177057. 
  2. ^ Venn diagram - 范恩圖. 雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. 國家教育研究院. 2012 [2021-07-15]. (原始內容存檔於2021-07-16) (中文(臺灣)). 
  3. ^ 微軟 Office系列軟體使用此譯法
  4. ^ Ian Stewart Another Fine Math You've Got Me Into 1992 ch4

外部連結