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丸塔

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丸塔
丸塔
以五角丸塔为例
类别丸塔
对偶多面体丸塔对偶
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类1个n边形
1个2n边形
n个五边形
2n个三角形
对称性
对称群Cnv英语Dihedral symmetry in three dimensions, [n], (*nn), order 2n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Cn, [n]+, (nn), order n
特性
图像
Dual pentagonal rotunda.png
丸塔对偶
对偶多面体
Pentagonal Rotunda Net.svg
展开图
注:为底面边数 。

几何学中,丸塔又称为罩帐,是指一系列属于二面体群的多面体,正如其名“罩帐”,就如帐篷般的结构。丸塔的结构是有两个在空间中平行的正多边形,其中一个的边数是另一个的两倍,并在两者间加入三角形和五边形[1]。丸塔与台塔类似但不是正方形和三角形交替构成,而是五边形和三角形交替并绕轴构成。丸塔的命名取决于边数较少的一个面,最小的丸塔为三角丸塔,由六边形的底面和三角形的顶面构成。若一个丸塔底面正多边形则可以称为正丸塔,但侧面未必能为正多边形。所有面都是正多边形的丸塔只有正五角丸塔。

所有丸塔只有一种属于约翰逊多面体,即正五角丸塔[2]

例子

丸塔有无限多种,最小的丸塔是三角丸塔。能以所有面皆为正多边形之形式存在的丸塔只有五角丸塔[2],其他丸塔的五边形面都会有一定程度的形变,即使其所有边等长,也未必能所有角等角。

丸塔
3 4 5 6 7 8
Green triangular rotunda.svg
正三角丸塔
Green square rotunda.svg
正四角丸塔
Green pentagonal rotunda.svg
正五角丸塔
Green hexagonal rotunda.svg
正六角丸塔
Green heptagonal rotunda.svg
正七角丸塔
Green octagonal rotunda.svg
正八角丸塔

性质

四角丸塔

对于一个底的边数为的丸塔,即角丸塔,其由个面、条边和个顶点所组成。在其个面中,有两个底面——边形的上底面和边形的下底面,和个侧面——个三角形面和个五边形面。丸塔一般有三种顶点,分别为顶面周围的1个边形顶面、2个三角形侧面和1个五边形侧面的公共顶点,和底面周围的1个边形底面、1个三角形侧面和1个五边形侧面的公共顶点,以及侧面上的2个五边形和2个三角形的公共顶点。而正五角丸塔的情况较特殊,由于其顶面的五边形面和侧面的五边形面全等,因此其只有两种顶点,分别为2个五边形和2个三角形的公共顶点以及1个十边形、1个三角形和1个五边形的公共顶点。[3]丸塔的条边来自于底面边形的条边,和邻接于底面的n个三角形共条边(不计与底面共用的边,每个三角形两条边),和邻接于顶面的n个三角形共条边(不计与顶面共用的边,每个三角形两条边)和顶面边形的条边,共条边。其个顶点来自于底面边形的个顶点,和中间层组三角形相交处共个顶点和顶面的个顶点共个顶点。

星形丸塔

星形丸塔
5 7 9 11
Pentagrammic rotunda.svg
正五角星丸塔
Heptagrammic rotunda.svg
正七角星丸塔
Enneagrammic rotunda.svg
正九角星丸塔
Hendecagrammic rotunda.svg
正十一角星丸塔

相关多面体

台塔丸塔

台塔丸塔
同相五角台塔丸塔异相五角台塔丸塔
以同相/异相五角台塔丸塔为例
类别台塔丸塔
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类2个n边形
n个矩形
n个五边形
3n个三角形
对称性
对称群Cnv英语Dihedral symmetry in three dimensions
特性
注:为底面边数 。

台塔丸塔(cupolarotunda)是指相同底面的台塔与丸塔以边数较多的底对对底面贴合所形成的立体。[4]与丸塔类似,仅有底面为五边形的台塔丸塔能以所有面皆为正多边形的形式存在——虽然三角台塔、四角台塔能以所有面皆为正多边形的形式存在,但因为台塔丸塔需考虑台塔与丸塔组合的结果,故三角台塔丸塔与四角台塔丸塔也都未能成为约翰逊多面体。[2]

属于约翰逊多面体的台塔丸塔只有同相五角台塔丸塔异相五角台塔丸塔[2]

台塔与丸塔的组合可以分成同相和异相。其中,同相代表顶面和底面的多边形相同相位,能对在一起,而异相则代表顶面和底面的多边形差了一个旋转角。

台塔丸塔
3 4 5 6 7
Green triangular orthocupolarotunda.svg
同相三角台塔丸塔
Green square orthocupolarotunda.svg
同相四角台塔丸塔
Green pentagonal orthocupolarotunda.svg
同相五角台塔丸塔
Green hexagonal orthocupolarotunda.svg
同相六角台塔丸塔
Green heptagonal orthocupolarotunda.svg
同相七角台塔丸塔
Green triangular gyrocupolarotunda.svg
异相三角台塔丸塔
Green square gyrocupolarotunda.svg
异相四角台塔丸塔
Green pentagonal gyrocupolarotunda.svg
异相五角台塔丸塔
Green hexagonal gyrocupolarotunda.svg
异相六角台塔丸塔
Green heptagonal gyrocupolarotunda.svg
异相七角台塔丸塔

丸塔柱

丸塔柱是指在丸塔边数较多的底面叠上柱体所形成的立体。仅有五角丸塔柱属于约翰逊多面体。[5]

丸塔柱
4 5 6 7
Green elongated square rotunda.svg
四角丸塔柱
Green elongated pentagonal rotunda.svg
五角丸塔柱
Green elongated hexagonal rotunda.svg
六角丸塔柱
Green elongated heptagonal rotunda.svg
七角丸塔柱

双丸塔

双丸塔是指两个丸塔以边数较多的底面对底面贴合所形成的立体。[6]

双丸塔
4 5 6 7 8
Green square orthobirotunda.svg
同相双四角丸塔
Green pentagonal orthobirotunda.svg
同相双五角丸塔
Green hexagonal orthobirotunda.svg
同相双六角丸塔
Green heptagonal orthobirotunda.svg
同相双七角丸塔
Green octagonal orthobirotunda.svg
同相双八角丸塔
Green square gyrobirotunda.svg
异相双四角丸塔
Green pentagonal gyrobirotunda.svg
异相双五角丸塔
Green hexagonal gyrobirotunda.svg
异相双六角丸塔
Green heptagonal gyrobirotunda.svg
异相双七角丸塔
Green octagonal gyrobirotunda.svg
异相双八角丸塔

参见

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Johnson, Norman W.英语Norman Johnson (mathematician), Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  3. ^ Richard Klitzing. pentagonal rotunda, pero. bendwavy.org. [2023-01-02]. (原始内容存档于2023-01-02). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cupolarotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated pentagonal rotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Birotunda. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  • Victor A. Zalgaller英语Victor Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN.  The first proof that there are only 92 Johnson solids.