换元积分法

换元积分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求积分的一种方法，由链式法则和微积分基本定理推导而来。

第一类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$g=g(x)\$为连续可导函数，则有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$x=x(g)\$为连续可导函数，则有：

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g$

在遇到类似${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$、${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$和${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$的式子时，通常采取分别令$x=\pm a\sec t$、$x=\pm a\tan t$或$x=\pm a\sin t$进行换元，得到关于$t$的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由$x$与$t$的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限$\alpha$和$\beta$下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx$。

${\begin{alignedat}{2}d\left(x^{2}+1\right)=2x\,dx&\iff dx={\frac {d\left(x^{2}+1\right)}{2x}}\\\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2}+1)\,dx}{2}}\\&={\frac {\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d\left(x^{2}+1\right)}{2}}\\&={\frac {\sin 5-\sin 1}{2}}\\\end{alignedat}}$

其中 $dx$ 换元为 $d\left(x^{2}+1\right)$ 后，$\int _{0}^{2}$ 亦变为 $\int _{1}^{5}$，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

参见

• 分部积分法