达布积分

在实分析或数学分析中，达布积分是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布（Jean Gaston Darboux）。

区间的分割

一个闭区间 $[a,b]$ 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 。每个闭区间 $[x_{i},x_{i+1}]$ 叫做一个子区间。定义 $\lambda$ 为这些子区间长度的最大值： $\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$ ，其中 $0\leq i\leq n-1$ 。

再定义取样分割。一个闭区间 $[a,b]$ 的一个取样分割是指在进行分割 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 后，于每一个子区间中 $[x_{i},x_{i+1}]$ 取出一点 $x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$ 。 $\lambda$ 的定义同上。

精细化分割：设 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 以及 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 构成了闭区间 $[a,b]$ 的一个取样分割， $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 和 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 是另一个分割。如果对于任意 $0\leq i\leq n$ ，都存在 $r(i)$ 使得 $x_{i}=y_{r(i)}$ ，并存在 $r(i)\leq j\leq r(i+1)$ 使得 $t_{i}=s_{j}$ ，那么就把分割： $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 、 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 称作分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

达布和

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 为一个有界函数，又设

P:x_{0},\ldots ,x_{n}

是闭区间 $[a,b]$ 的一个分割。令:

M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)

$f$ 在分割 $P$ 下的上达布和定义为：

U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})

同样的有下达布和的定义：

L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})

$f$ 的上达布积分指的是所有上达布和的下确界：

U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P

是闭区间

[a,b]

的一个分割

\;\}

同样的 $f$ 的下达布积分指的是所有下达布和的上确界：

L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P

是闭区间

[a,b]

的一个分割

\;\}

如果 $U_{f}=L_{f}$ 那么 $f$ 就称作达布可积的，并用 $\int _{a}^{b}{f(t)\,dt}$ 表示，记作 $f$ 在区间 $[a,b]$ 的达布积分。

性质

对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以 $b-a$ 为宽，以 $\mathrm {inf} (f)$ 为高的矩形下，占据 $[a,b]$ 。同样，上达布和被限制在以 $b-a$ 为宽，以 $\mathrm {sup} (f)$ 为高的矩形上。

(b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)

下达布和和上达布和满足

{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx

对处于 $(a,b)$ 的任意 $c$

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}

下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令 $g:[a,b]\rightarrow R$ 是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}

对于一个常数 $c\geq 0$ 我们有

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}

对于一个常数 $c\leq 0$ 我们有

{\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}

考虑函数 $F:[a,b]\rightarrow R$ 定义为

F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx

那么 $F$ 是利普希茨连续的。当 $F$ 是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。

例子

一个达布可积函数

假设我们想证明函数 $f(x)=x$ 在区间 $[0,1]$ 上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间 $[0,1]$ 分割为 $n$ 个等大的子区间，每个区间长度为 ${\frac {1}{n}}$ 。我们取 $n$ 个等大的子区间中一个作为 $P_{n}$ 。

现在因为 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在 $P_{n}$ 中第 $k$ 个子区间的起点是 ${\frac {k-1}{n}}$ ，终点是 ${\frac {k}{n}}$ 。那么在一个分割 $P_{n}$ 上的下达布和就是

{\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}

类似地，上达布和为

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}

由于

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}

则对于任意 $\varepsilon >0$ ，我们得到对于 $n>{\frac {1}{\varepsilon }}$ 的任何分割 $P_{n}$ 都满足

{\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}

得证 $f$ 是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}

一个不可积函数

如果我们有函数 $f:[0,1]\rightarrow R$ 定义为

{\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}

由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定 $f$ 在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割 $P$ 我们有

{\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}

从中我们可以看出上下达布和不等。

与黎曼积分的关系

如果分割 $P':y_{0},\ldots ,y_{m}$ 比分割 $P:x_{0},\ldots ,x_{n}$ “精细”，那么有 $U_{f,P}\geq U_{f,P'}$ 以及 $L_{f,P}\leq L_{f,P'}$ 。这是因为 $P'$ 实际上是将 $P$ 中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上 $f$ 的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图）

如果 $P_{1},P_{2}$ 是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么

L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}

.

所以，

L_{f}\leq U_{f}

显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果

P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!

并且

T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!

共同构成区间上的一个取样分割

x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!

(正如黎曼积分的定义中那样)，对应 $P$ 和 $T$ 的黎曼和为 $R$ ，就有

L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!

由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。

参见