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達布積分

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實分析數學分析中,達布積分(英語:Darboux integral)是一種定義一個函數的積分的方法,它是通過達布和構造的。達布積分和黎曼積分是等價的,也就是說,一個實值函數是達布可積的當且僅當它是黎曼可積的,並且積分的值相等。達布積分的定義比黎曼積分簡單,並且更具操作性。達布積分的名字來自於數學家讓·加斯東·達布

區間的分割

一個閉區間的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列。每個閉區間叫做一個子區間。定義 為這些子區間長度的最大值:,其中

再定義取樣分割。一個閉區間的一個取樣分割是指在進行分割後,於每一個子區間中取出一點 的定義同上。

精細化分割:設以及構成了閉區間的一個取樣分割,是另一個分割。如果對於任意,都存在使得,並存在使得,那麼就把分割:稱作分割的一個精細化分割。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更「精細」。

達布和

為一個有界函數,又設

是閉區間的一個分割。令:

下(綠色)和上(淡紫色)達布和

在分割下的上達布和定義為:

同樣的有下達布和的定義:

上達布積分指的是所有上達布和的下確界

是閉區間的一個分割

同樣的下達布積分指的是所有下達布和的上確界

是閉區間的一個分割

如果那麼就稱作達布可積的,並用表示,記作在區間的達布積分。

性質

  • 對於任何給定的分割,上達布和永遠大於等於下達布和。此外,下達布和被限制在以為寬,以為高的矩形下,占據。同樣,上達布和被限制在以為寬,以為高的矩形上。
  • 下達布和和上達布和滿足
  • 對處於的任意
  • 下達布積分和上達布積分不必要是線性的。令是一個有界函數,則上達布積分和下達布積分滿足下面的不等關係。
  • 對於一個常數我們有
  • 對於一個常數我們有
  • 考慮函數定義為

那麼利普希茨連續的。當是用達布積分定義的,一個相似的結論也成立。

例子

一個達布可積函數

假設我們想證明函數在區間上是達布可積的,並且確定它的值。我們需要把區間分割為個等大的子區間,每個區間長度為。我們取個等大的子區間中一個作為

現在因為上嚴格單增,在任意一個特定子區間上的下確界即它的起點。同樣,在任意一個特定子區間上的上確界即它的終點。在中第個子區間的起點是,終點是。那麼在一個分割上的下達布和就是

類似地,上達布和為

由於

則對於任意,我們得到對於的任何分割都滿足

得證是達布可積的。要找到這個積分的值需要注意到

一個不可積函數

如果我們有函數定義為

由於有理數和無理數都是R稠密子集,因而斷定在任何分割的任何子區間只能取0或1。所以對於任意分割我們有

從中我們可以看出上下達布和不等。

黎曼積分的關係

對於更精細的分割,上達布和減小3公分,下達布和變大3公分

如果分割比分割「精細」,那麼有 以及 。這是因為實際上是將中的若干個子區間再做分割,而分割後的子區間上的上(下)確界必然比原來區間的上(下)確界小(大)。(見圖)

如果是同一個區間的兩個分割(不一定要一個比另一個「精細」),那麼

.

所以,

顯然,一個分割的黎曼和一定介於對應的上達布和與下達布和之間。正規的說,如果

並且

共同構成區間上的一個取樣分割

(正如黎曼積分的定義中那樣),對應的黎曼和為 ,就有

由上可以看出,黎曼積分的第二個定義與達布積分的定義等價(見黎曼積分)。如果一個函數在區間的達布積分存在,那麼一個對於足夠精細的分割,上達布和與下達布和之間的差將能夠無限趨近於0(都趨近於共同的極限),因此比其更為精細的分割,黎曼和將介於上達布和與下達布和之間,於是趨於一個極限。同時,注意到對於一個分割,我們可以適當取樣使得取樣的函數值趨於上(下)確界(由確界的定義)。這表明如果黎曼和趨於一個定值,則上下達布和之間的差將趨於0,也就是說達布積分存在。

參見