在數學分析中,均值定理(英語:Mean value theorem)大致是講,給定平面上固定兩端點的可微曲線,則這曲線在這兩端點間至少有一點,在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。[註 1]
更仔細點講,假設函數
在閉區間
連續且在開區間
可微,則存在一點
,使得
.
中值定理包括微分中值定理和積分中值定理。
微分中值定理
微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線,兩端點之中必然有一點,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。
當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
羅爾中值定理
羅爾定理的幾何意義
如果函數
滿足
- 在閉區間
上連續;
- 在開區間
內可導;
- 在區間端點處的函數值相等,即
,
那麼在
內至少有一點
,使得
。這個定理稱為羅爾定理。
拉格朗日中值定理(均值定理)
拉格朗日中值定理的幾何意義
令
為閉區間
上的一個連續函數,且在開區間
內可導,其中
。那麼在
上存在某個
使得
![{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f0ffc5f9bd9ddb9e157bcc15fac0f8662f0b1)
此定理稱為拉格朗日中值定理,也簡稱均值定理,是羅爾中值定理的更一般的形式,同時也是柯西中值定理的特殊情形。
這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設
在
連續,且在開區間
內對任意一點
,極限
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55a8aaa8dfd5858d02834125c5f54f127135f2a)
存在,為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限,則極限等於
。這版本定理應用的一個例子是函數
,實值三次方根函數,其導數在原點趨於無窮。
注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數,則上面這定理就未必正確。例如,對實數
定義
。那麼
![{\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3ce80fb81c266665c3ec1b45aa59d4bdcd65ff)
因
時,
為開區間
中任意一點。
柯西中值定理
柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它敘述為:如果函數 f 和 g 都在閉區間[a,b] 上連續,且在開區間 (a,b) 上可微,那麼存在某個 c ∈ (a,b),使得
柯西定理的幾何意義
![{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d353ff0f798af4d0c6280664060bf81923e57af)
當然,如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0,則可表示成:
![{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bc48c073662e0a93cf5df87d41c06b66400c64)
在幾何上,這表示曲線
![{\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035d912ebe2e72e28cf8922a39d1b07ee8afe321)
上存在一點其切線平行於由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在,因為可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
![{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975d103dc1663be3290e71ea609dface5ebb067e)
在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線,然而它在 t = 0處有一個駐點(實際上是一個尖點)。
柯西中值定理可以用來證明洛必達法則。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。
積分中值定理
積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理,它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等(嚴格表述在下面)。
積分第一中值定理
設
為一連續函數,
要求
是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點
使得
。
證明
在不失去一般性的條件下,設對所有
,有
;
因為
是閉區間上的連續函數,
取得最大值
和最小值
。於是
。
對不等式求積分,我們有
。
若
,則
。
可取
上任一點。
若不等於零那麼
,
。
因為
是連續函數,根據介值定理,則必存在一點
,使得
。
的情況按同樣方法證明。
積分第一中值定理推論的幾何意義
推論(拉格朗日中值定理的積分形式)
在上式中令
,則可得出:
設
為一連續函數,則∃
,使
![{\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb39c0441abf7df6aa4808215baebbbe6c9f03a)
它也可以由拉格朗日中值定理推出:
設
在
上可導,
,則∃
,使
![{\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0575ecd57d5d5b8c0f6da97156fc99298a67e40c)
積分第二中值定理
積分第二中值定理與積分第一中值定理相互獨立,卻又是更精細的積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。
內容
若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調,則存在[a,b]上的點ξ使
;
退化態的幾何意義
第二積分中值定理退化形式的幾何意義
令g(x)=1,則原公式可化為:
;
進而導出:
;
此時易得其幾何意義為:
能找到ξ∈[a,b],使得S[紅]+S[藍]=S[陰影],即S[I]=S[II]
應用
關於積分中值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號,或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數,從而使問題簡化。
注釋
參見