微分方程
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解法
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通解
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可分離方程
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一階,變量 和 均可分離(一般情況, 下面有特殊情況)[1]
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分離變量(除以)。
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一階,變量 可分離[2]
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直接積分。
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一階自治,變量 可分離[2]
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分離變量(除以 )。
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一階,變量 和 均可分離[2]
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整個積分。
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一般一階微分方程
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一階,齊次[2]
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令 ,然後通過分離變量 和 求解.
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一階,可分離變量[1]
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分離變量(除以 )。
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如果, 解為.
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正合微分, 一階[2]
其中
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全部積分
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其中 和 是積分出來的函數而不是常數,將它們列在這裏以使最終函數 滿足初始條件。
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非正合微分, 一階[2]
其中
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積分因子 滿足
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如果可以得到 :
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一般二階微分方程
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二階, 自治[3]
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原方程乘以 , 代換, 然後兩次積分.
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線性方程 (最高到階)
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一階線性,非齊次的函數系數[2]
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積分因子: .
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二階線性,非齊次的常系數[4]
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余函數 : 設 ,代換並解出 中的多項式,求出線性無關函數 。
特解 :一般運用常數變易法,雖然對於非常容易的 可以直觀判斷。[2]
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如果 , 則:
如果 , 則:
如果 , 則:
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階線性,非齊次常系數[4]
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余函數 :設 ,代換並解出 中的多項式,求出線性無關函數 .
特解 :一般運用常數變易法,雖然對於非常容易的 可以直觀判斷。[2]
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由於 為 階多項式的解:
,於是:
對於各不相同的 ,
每個根 重複 次,
對於一些複數值的 αj,令 α = χj + iγj,使用歐拉公式,前面結果中的一些項就可以寫成
的形式,其中 ϕj 為任意常數(相移)。
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