在數學分析中,介值定理(英語:intermediate value theorem,又稱介值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:
- 假設
為一連續函數。若一實數
滿足
,則存在一實數
使得
。
介值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。
定理
介值定理圖解
定理敘述
證明
先證明第一種情況
;第二種情況也類似。
設
為所有滿足
的
所構成的集合。由
可知
非空。由於
具有上界
,故由實數的完備性知
有最小上界
。我們以反證法證明
。
- 首先假設
。由於
連續,我們能找到正實數
使得
對所有
均成立。由於
,故存在滿足
的
;此時
,故
,即
,與
矛盾。故原假設
不成立。
- 接著假設
。由於
連續,我們能找到正實數
使得
對所有
均成立。設
;此時
,即
,故
。這會導致
不是
的上界,矛盾。故原假設
不成立。
因此
。
與實數完備性的關係
此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數
滿足
,但不存在滿足
的有理數
。
零點定理(波爾查諾定理)
零點定理是介值定理的一種特殊情況-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:
- 設函數
在閉區間
上連續,且
,則必存在
使
成立。由於零點定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯納德·波爾查諾於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]
現實世界中的意義
介值定理意味着在地球的任何大圓上,溫度、壓強、海拔、二氧化碳的濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對蹠點,在這兩個點上該變量的值是相同的。
證明:取f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交於點A和點B。設d為f(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值−d。根據介值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。
這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。
參見
參考資料
外部連結