介值定理

  提示：此条目页的主题不是中值定理。

在数学分析中，介值定理（英语：intermediate value theorem，又称中間值定理）描述了连续函数在两点之间的连续性：

假设 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 为一连续函数。若一实数 $u$ 满足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$，则存在一实数 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在这个证明中，他附带证明了波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理。

定理

介值定理图解

定理叙述

介值定理 —  设 $a<b$，且 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 为一连续函数。则下列叙述成立：

• 对任意满足 $(f(a)-u)(f(b)-u)<0$ 的实数 $u$，皆存在一实数 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。
• $f$ 的值域为一闭区间。

证明

先证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设 $S$ 为所有满足 $f(x)\leq u$ 的 $x\in [a,b]$ 所构成的集合。由 $a\in S$ 可知 $S$ 非空。由于 $S$ 具有上界 $b$，故由实数的完备性知 $S$ 有最小上界 $c=\sup S$。我们以反证法证明 $f(c)=u$。

• 首先假设 $f(c)>u$。由于 $f$ 连续，我们能找到正实数 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ 对所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。由于 $c=\sup S$，故存在满足 $c-\delta <y\leq c$ 的 $y\in S$；此时 ${\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta$，故 $f(y)-f(c)>-(f(c)-u)$，即 $f(y)>u$，与 $y\in S$ 矛盾。故原假设 $f(c)>u$ 不成立。
• 接着假设 $f(c)<u$。由于 $f$ 连续，我们能找到正实数 $\delta$ 使得 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 对所有 $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ 均成立。设 $y=c+\delta /2$；此时 $f(y)-f(c)<u-f(c)$，即 $f(y)<u$，故 $y\in S$。这会导致 $c$ 不是 $S$ 的上界，矛盾。故原假设 $f(c)<u$ 不成立。

因此$f(c)=u$。

与实数完备性的关系

此定理仰赖于实数完备性，它对有理数不成立。例如函数$f(x)=x^{2}-2$满足$f(0)=-2,f(2)=2$，但不存在满足$f(x)=0$的有理数$x$。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲线上两点的值正负号相反，其间必定存在一个根：

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必存在$\xi \in (a,b)$使$f(\xi )=0$成立。由于零点定理可用来找一方程式的根，也称为勘根定理。伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理，同时证明了这个定理的一般情况（即介值定理）。以现代的标准来说，他的证明并不算是非常严格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对跖点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理
• 达布定理

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.