在数学分析中,介值定理(英語:intermediate value theorem,又稱中間值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:
- 假設
為一連續函數。若一實數
滿足
,則存在一實數
使得
。
介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。
定理
介值定理圖解
定理敘述
证明
先证明第一种情况
;第二种情况也类似。
设
为所有滿足
的
所構成的集合。由
可知
非空。由於
具有上界
,故由实数的完备性知
有最小上界
。我们以反证法证明
。
- 首先假设
。由於
连续,我們能找到正实数
使得
對所有
均成立。由於
,故存在滿足
的
;此時
,故
,即
,與
矛盾。故原假設
不成立。
- 接著假设
。由於
连续,我們能找到正实数
使得
對所有
均成立。設
;此時
,即
,故
。這會導致
不是
的上界,矛盾。故原假設
不成立。
因此
。
與實數完備性的關係
此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數
滿足
,但不存在滿足
的有理數
。
零点定理(波尔查诺定理)
零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:
- 设函数
在闭区间
上连续,且
,则必存在
使
成立。由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]
现实世界中的意义
介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。
证明:取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。
这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。
参见
参考资料
外部链接